Optimale verdeling

Er zijn van die stellingen waar je op het eerste gezicht met louter verbazing naar kijkt. Bijvoorbeeld deze: Een lijn loopt van 0 tot 1. Daarop kun je een reëel getal R plaatsen \(0 \leq R \lt 1\); R deelt de lijn in tweeën. R kun je met 2, 3, 4  … n vermenigvuldigen en telkens het resultaat op deze lijn plaatsen. Als R groter of gelijk is aan 1 neem je alleen de cijfers achter de komma, het fractionele deel: fract(nR)

Bij een rationeel getal, bijvoorbeeld 0,5, zijn er maar twee posities: 0,5 en 0. Maar bij een irrationeel getal zal de lijn worden opgedeeld in n+1 segmenten. En nu komt het:

De n punten die zijn gegenereerd door fract(nR) voor n = 1,2,3,4… voor een irrationele waarde van R resulteren in n+1 lijnsegmenten. Deze lijnsegmenten hebben maximaal drie verschillende lengtes.

In de afbeelding hieronder is deze stelling te zien: als verdeling van een lijn en als opdeling van een cirkel.
De gekleurde cirkels delen de lijn in n+1 segmenten die zijn gelabeld: S, M of L. Het getal staat standaard op 1,618003. Verander n (aantalcycles) met de schuif en het aantal punten neemt toe of af, maar het aantal verschillende lengtes tussen de punten wordt nooit groter dan 3.
Maar als er niet meer dan 3 verschillende segmentlengtes zijn, kun je je afvragen hoe het zit met de verhoudingen tussen de segmenten – L, M en S- met een verandering van n. Blijven die gelijk, wijzigen die bij iedere verandering of doen ze dat slechts af en toe.

Het reële getal waarmee het programma start is 1,618033988, met andere woorden \(\phi\). Het bijzondere van dit begingetal is dat de verhouding tussen S, M en L constant blijft: tussen S en M is dat \(\phi\), tussen M en L is dat ook \(\phi\) en de verhouding tussen S en L en \(\phi ^2\)